La modélisation d'une poutre sur appui continu élastique est assez délicate avec un programme d'éléments finis car l'appui continu doit être modélisé par une série d'appuis ponctuels élastiques ayant des caractéristiques mécaniques et un espacement permettant d'obtenir des résultats identiques. De plus dans certains cas il est nécessaire de mener un calcul non linéaire pour prendre en compte le fait que le sol ne réagisse qu'en compression.

La poutre sur appui élastique continu...

...doit être modélisée sur des appuis ponctuels élastiques

Quelles caractéristiques adopter pour les appuis ponctuels ?

La rigidité de chaque ressort doit être égale à Kressort = ksol x a x b 
a : distance entre chaque ressort
b : largeur de la poutre
ksol : rigidité calculée en Mpa/m. 

Attention : Veillez à prendre une distance de a/2 pour les ressorts situés aux extrémités de la poutre.

Combien d'appuis ponctuels faut-il avoir pour obtenir des résultats fiables ?

Avant de donner quelques astuces simples de modélisation, regardons la convergence des résultats des efforts tranchants quand nous faisons varier son inertie et l'écartement des appuis ponctuels. Pour chaque cas nous avons fait varier le nombre de maillage d'appuis : 10 appuis, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90, et 100

· Cas 1 Poutre de dimension 1,50*2,00h
· Cas 2 Poutre de dimension 1,50*0,50h
· Cas 3 Poutre de dimension 1,50*0,10h
· Cas 4 Poutre de dimension 1,50*0,01h

On s'aperçoit que nous obtenons une convergence satisfaisante (95% de la solution exacte) avec une finesse de maillage variant en fonction de la rigidité de la poutre :

• Cas 1 : 20 mailles suffisent
  

• Cas 2 : 40 mailles suffisent
  

• Cas 3 : 110 mailles suffisent
  

• Cas 4 : 500 mailles suffisent
  

Ces résultats sont obtenus à partir des graphiques du logiciel EFFEL. Dans l'exemple suivant, avec une poutre de 1,50* 0,50 ht et un maillage de 40 appuis ponctuels nous obtenons les résultats suivants :

On note que par rapport à la théorie exacte, les courbes des efforts tranchants sont données avec des paliers, ceci est dû au maillage des appuis ponctuels, il faut donc lisser cette courbe pour obtenir la courbe exacte correspondant à un appui continu.

Conclusions

Quand le rapport kpoutre/ksol tend vers l'infini, le maillage peut être de plus en plus grossier, la poutre a tendance à se déformer globalement :

Quand le rapport kpoutre/ksol tend vers 0, le maillage doit être de plus en plus fin car la poutre se déforme localement :

Macro "Calcul automatique du maillage"

Comportement non linéaire de la poutre sur appui continu

Le calcul par la méthode des éléments finis est un calcul linéaire, c'est à dire que les appuis ponctuels ont une rigidité Kr qui fonctionne aussi bien en compression qu'en traction. Bien entendu dans le cas d'un décollement de la poutre surtout lorsque celui ci est important nous ne pouvons plus nous satisfaire de ces résultats qui peuvent être fortement différents de la réalité…

Un calcul élastique linéaire conduit à faire fonctionner les appuis en compression et en traction quand il y a décollement de la poutre… La rigidité en traction et en compression est identique et régit par la loi F = Kr. x	Dans le cas de décollement important qui met en traction un nombre important de ressorts, il est prudent d'effectuer un calcul non linéaire.Celui ci consiste à annuler la présence des ressorts quand ils se trouvent tendus. Ce comportement porte le nom d'élément de type "butée".
Comportement élastique linéaire des ressorts.  F = Kr. x	Comportement non linéaire des ressorts de type butée. La loi F = Kr. x n'est valable que pour la compression

Prenons un exemple

Type	Etude linéaire	Etude non linéaire	Commentaires
Déplacements			Les soulèvements de la poutre sont naturellement accentués avec l'étude non linéaire. Attention si le but de l'analyse est de rechercher finement ces déplacements, il est impératif de faire une étude non linéaire.
Efforts tranchants			L'étude non linéaire peut modifier les courbures de la poutre et de ce fait, faire apparaître ou disparaître des changements de signes des moments fléchissants.
Moments fléchissants

Lorsque l'étude linéaire fait apparaître un soulèvement significatif, il est recommandé de faire plutôt une étude non linéaire en modélisant des appuis de type "butée" prenant en compte les décrochements d'appuis.

Logiciels de calcul de poutre sur appui continu élastique

Arche Longrine : calcule les déplacements et les efforts selon une méthode exacte. Cette méthode reste dans le domaine linéaire élastique et s'affranchit de maillage.

Effel Pack 1 : permet le calcul par la méthode des éléments finis d'une poutre sur appui continu. Il faut donc appliquer les recommandations définies pour un calcul précis des déplacements et effets. Le module " calcul avancé " permet de calculer en non linéaire les butées.